ABECEDA FIZIKE #2: Gibanje je relativno

U srednjoj školi, kao i na većini tehničkih fakulteta, program fizike slijedi povijesni razvoj pa počinje s kinematikom, onim dijelom mehanike koji opisuje gibanje. Naglasak se redovito stavlja na pojmove koje je, na početničkoj razini, relativno lako matematički opisati: pomak, brzinu i ubrzanje. Definicije tih pojmova, međutim, implicitno uključuju netrivijalne ideje prostora i vremena.

Prostor i vrijeme

Učenje fizike obično kreće od prešutne pretpostavke da su osnovne ideje prostora i vremena svima intuitivno jasne. Pa se onda o njima, na početku, gotovo ništa ni ne govori. Ali ne zato što su prostor i vrijeme prejednostavni, nego zato što su presloženi.

S obzirom da ovo nije formalni tečaj, opterećen nekim silabusom ili kurikulumom, nego slobodna priča o fizici, i s obzirom da su prostor i vrijeme (uz materiju i energiju) najvažnije koncepcije u fizici, onda ću ipak nešto o njima reći. To je važno zato da bismo naše intuitivno poimanje prostora i vremena, stečeno svakodnevnim iskustvom, dopunili i korigirali do one razine koja je potrebna za uspješno usvajanje kinematike.

U klasičnoj fizici prostor je neograničena praznina, neka vrsta prazne pozornice na kojoj se nešto eventualno može događati. U modernoj fizici prostor nije tek veliko ništavilo nego fizički entitet koji ima svoja svojstva: može biti zakrivljen, može se širiti, može neprekidno stvarati virtualne parove čestica-antičestica, može na najmanjoj skali imati strukturu i biti kvantiziran. Sve to nije stvar definicije nego stvar mjerenja, što je bila poanta Abecede fizike #1. Fizičari prostor ne definiraju nego ga mjere.

Ipak, spomenuta svojstva prostora nisu za klasičnu mehaniku važna pa ih zasad možemo lijepo ignorirati. Fizički prostor u klasičnoj mehanici najbliži je matematičkom pojmu euklidskog prostora koji se sastoji od beskonačnog broja ravnopravnih točaka u tri dimenzije. Proizvoljno možemo odabrati jednu od tih točaka i kroz nju povući tri međusobno okomita pravca. Tako smo dobili pravokutni koordinatni sustav zahvaljujući kojem svakoj točki prostora možemo pridružiti tri broja zvana koordinate. S obzirom da je izbor ishodišta proizvoljan, koordinate su uvijek relativne. Ista točka prostora uz drugi izbor koordinatnog sustava ima druge koordinate. Te druge koordinate možemo transformirati u one prve, ili pak u neke stote. Ali fizika ne smije ovisiti o vrijednostima samih koordinata. Postoje, međutim, neke veličine koje se pri transformacijama ne mijenjaju. E, tu leži fizika. U tim nepromjenjivim veličinama ili invarijantama. Za euklidski prostor invarijanta je, primjerice, udaljenost dviju točaka (koju dobijemo iz generaliziranog Pitagorinog poučka).

Oprostite, ali morali smo malo zagrepsti po matematici. Za one kojima točke i pravci još nisu prijatelji, evo lektire, jedne od najutjecajnijih knjiga u povijesti čovječanstva (ne, ne mislim na Bibliju): Euklid, Elementi I-VI, Kruzak, 1999.

Ni vrijeme fizičari ne definiraju nego ga opet… mjere. Einstein je navodno rekao da je vrijeme ono što čitamo na satu. Zvuči kao šala, ali tu je sva poanta. Sat je instrument u kojem postoji neka periodičnost, neko pravilno ponavljanje. Svaka periodična pojava može se iskoristiti za mjerenje vremena: kuglica koja njiše na niti, uteg koji titra obješen na opruzi, izmjena dana i noći ili godišnjih doba (što je posljedica periodičnog gibanja nebeskih tijela), sve od frekvencije ljudskog pulsa (koji je koristio Galileo Galilei u doba prije satova) do frekvencije prijelaza između odabranih stanja atoma cezija (što koristi atomski sat). Mjerenje vremena svodi se na brojanje ponavljanja periodične pojave.

Pazite sad ovo: namjerno nisam eksplicitno spomenuo gibanje, ali periodične pojave koje sam navodio su zapravo bili primjeri periodičnih gibanja. Kad ne bismo nigdje u svemiru imali periodičnih gibanja ne bismo mogli mjeriti vrijeme, no bi li vremena tada uopće i bilo? Razmislite o tome. Ako vrijeme zamišljate kao neki vječni tik-tak, koji postoji neovisno od gibanja tijela u prostoru, onda je vaša slika svijeta daleko od fizičke realnosti. Nema vječnog tik-taka. Ako nema gibanja, nema ni vremena.

Postojanost pamćenja, S. Dali, 1931.
Postojanost pamćenja, S. Dali, 1931.

Gibanje

Gibanje je središnji pojam fizike koji neraskidivo povezuje prostor, vrijeme, materiju i energiju. Materijom i energijom bavit ćemo se u idućim nastavcima Abecede fizike. Zasad ćemo definirati gibanje te pomak, brzinu i ubrzanje.

Dakle, gibanje je promjena položaja tijela u odnosu na drugo tijelo. Položaj znači mjesto u prostoru. S obzirom da su sva mjesta u euklidskom praznom prostoru ravnopravna onda položaj možemo odrediti isključivo u odnosu na drugo tijelo. Ili, relativno prema drugom tijelu. Dakle, u samoj definiciji gibanja leži relativnost. Specijalna teorija relativnosti koju je razvio, i 1905. godine objavio, Albert Einstein počiva na dva postulata. Prvi od njih je načelo relativnosti koje potječe od Galileija.

Spomenuto drugo tijelo, s obzirom na koje određujemo položaj i promjenu položaja (dakle gibanje) prvog tijela nazivamo referentnim tijelom. Njega možemo staviti u ishodište spomenutog koordinatnog sustava pa se pri određivanju položaja ne moramo više referirati na to tijelo nego se možemo referirati na ishodište sustava. Zato takav sustav nazivamo referentni sustav.

Još jednom, gibanje je promjena položaja tijela u odnosu na drugo tijelo. Promjena položaja u prostoru. Dakle, ako nema prostora, nema ni gibanja. Ranije smo rekli: ako nema gibanja, nema ni vremena. Zaključak: ako nema prostora, nema ni vremena. Isprepletenost pojmova prostora i vremena nije neka mistika koja se pojavila tek s teorijom relativnosti. Ona je u samoj srži fizike.

Relativnost, M. C. Escher, 1953.
Relativnost, M. C. Escher, 1953.

Pomak

Dalje ne ide bez matematike. Već sam spomenuo da je, u klasičnoj mehanici, dobra aproksimacija fizičkog prostora ono što matematičari definiraju kao euklidski prostor. Izbor ishodišta u tom prostoru je proizvoljan (opis fizike ne ovisi o tom izboru), ali on euklidskomu prostoru daje strukturu vektorskoga prostora. Zato za opis gibanja koristimo matematičke objekte zvane vektori.

Općenito u matematici, i u naprednijoj fizici (primjerice u teoriji relativnosti), vektor se definira svojim transformacijskim svojstvima, kao i tenzor. No, u klasičnoj mehanici dovoljna je najjednostavnija predodžba vektora kao usmjerene dužine, dijela pravca omeđenog s dvije neravnopravne točke (jedna je početna, a druga konačna).

Tako položaj tijela u prostoru opisujemo vektorom koji ima početak u ishodištu koordinatnog sustava, u referentnoj točki, a kraj u nekoj točki tijela, recimo u središtu mase. U kinematici, doduše, još ne uvodimo masu, nego tijela idealizirano tretiramo kao točke. Uglavnom, vektor kojim opisujemo položaj tijela nazivamo radij-vektor.

Za gibanje smo rekli da je promjena položaja. Tako imamo dva radij-vektora u igri: vektor početnog položaja i vektor konačnog položaja. Njihovu razliku, koja je također vektor, nazivamo pomak. Osim iznosa pomak ima smjer (određen pravcem) i orijentaciju (određenu izborom početne/konačne točke). Za gibanje po pravcu iznos pomaka odgovara putu, ali općenito su put i pomak različiti.

Ovaj tekst sam počeo pisati neposredno prije vožnje iz Dubrovnika za Zagreb pa mi je, kao ilustracija razlike između puta i pomaka, prirodno poslužila Googleova karta.

Brzina

Pomak je osnovna veličina kojo opisujemo gibanje, ali nije jedina. Ako pomak podijelimo s vremenskim intervalom, razlikom vremena u konačnoj i početnoj točki gibanja, dobijemo drugi vektor koji nazivamo srednja brzina. Da bismo dobili trenutačnu brzinu, brzinu tijela u točno određenom trenutku, treba nam viša matematika, konkretno diferencijalni račun. Do te matematike došao je Gottfried Wilhelm Leibniz, motiviran problemom tangente na općenitu krivulju, i neovisno od njega Isaac Newton, motiviran upravo problemom trenutačne brzine.

Evo kako dolazimo do trenutačne brzine: u računu srednje brzine uzimamo sve manji pomak, biramo početnu i konačnu točku koje su bliže onoj točki u koji nas zanima trenutačna brzina. Kao posljedica smanjivanja pomaka smanjuje se i vremenski interval. Smanjivanje pomaka i vremenskog intervala, brojnika i nazivnika razlomka, nastavimo prema nuli. Vrijednost razlomka pritom teži konačnoj vrijednosti i ta vrijednost je trenutačna brzina. Matematički to zapisujemo s limesom, a ono što dobijemo kao rezultat toga limesa je upravo definicija derivacije. Tako je brzina zapravo vremenska derivacija pomaka.

Evo pitanja za razmišljanje: zašto u svemiru postoji ograničenje brzine? Naime, empirijska je činjenica, a i zaključak koji slijedi iz specijalne teorije relativnosti, da materijalno tijelo u euklidskom prostoru ne može čak ni doseći, a kamoli premašiti brzinu svjetlosti.

Ubrzanje

Konačno, gibanje jednolikom brzinom tek je posebni oblik gibanja. Tijelo se može gibati tako da mu se brzina neprekidno mijenja. U tom slučaju zanima nas kojom se brzinom mijenja brzina. Fizičku veličinu koja opisuje promjenu brzine, dakle brzinu brzine, nazivamo akceleracijom ili ubrzanjem.

Na isti način na koji smo definirali srednju brzinu, kao pomak (promjenu položaja) kroz vremenski interval, definiramo i srednju akceleraciju, kao promjenu brzine kroz vremenski interval. Za trenutačnu akceleraciju još primijenimo limes pa dobijemo da je akceleracija zapravo vremenska derivacija brzine.

Kako to mislite “baš me briga za ubrzanje”? To je nevažno? Nije baš tako. Upravo suprotno. Evo jedne potvrde: kad je Einstein shvatio da je ubrzanje slobodnog pada ekvivalentno akceleraciji općenito dobio je polazište za razvoj opće teorije relativnosti koja je, između ostalog, matematika fizičke kozmologije. Tu svoju spoznaju Einstein je kasnije opisao kao najsretniju misao u životu, a mi ju danas nazivamo načelom ekvivalencije.

I za kraj, ubrzanje slobodnog pada na Zemlji je jedna referentna akceleracija koju označavamo simbolom g, a iznosi otprilike 10 m/s2 što znači (10 m/s)/s tj. brzina se svake sekunde poveća za 10 m/s. Ako niste padobranac ili bungee skakač, slobodni pad nakratko možete relativno bezopasno iskusiti u zabavnom parku Gardaland u Italiji. Meni taj jedan g nije bio baš ugodan, no ima ljudi kojima je to premalo. Vozači Top Fuel dragstera postižu oko 4g. Iznad tog ubrzanja netrenirana osoba gubi svijest. Zato vojni piloti i astronauti prolaze high-G trening.

Još jedno pitanje za razmišljanje: zašto za zaustavljanje dragstera nisu dovoljne kočnice?

Dario Hrupec docent je na Odjelu za fiziku Sveučilišta u Osijeku. Bavi se visokoenergijskom gama-astronomijom. Član je međunarodnih kolaboracija MAGIC i CTA. Autor je brojnih udžbenika iz fizike te znanstveno-popularizacijskih knjiga “Protiv nadnaravnoga” i “Ažurirani svemir”.